Programme

Les exposés auront lieu en ligne les matins de la semaine du lundi 1er au jeudi 4 février. Le jeudi, une journée spéciale séminaire Philippe Flajolet aura lieu. Pour vous connecter suivez le lien https://jcb2021.labri.fr/bbb.

Les résumés sont disponibles ci-dessous, après l'emploi du temps. En cliquant sur le titre dans l'emploi du temps vous sautez tout de suite au résumé correspondant.

Lundi 1er février

Mardi 2 février

Mercredi 3 février

Jeudi 4 février

Résumés

Marie Albenque (CNRS - École Polytechnique) (mercredi 9h00-9h45)

Preuve bijective de schemas de rationalité pour les cartes en genre supérieur

Les cartes sont des graphes plongés sur des surfaces. Leur étude a été initiée par Tutte dans les années 60, qui a obtenu de nombreuses formules énumératives dans le cas planaire (c’est-à-dire quand on considère des plongements de graphes sur la sphère), et notamment pour l’énumération des cartes planaires à n arêtes. Ces formules, obtenues de manière calculatoire et assez technique, sont étonnamment simples. Pour expliquer cette simplicité, des bijections entre les cartes planaires et certaines familles d’arbres décorés ont été obtenues (entre autres !) par Cori et Vauquelin en 81 et Schaeffer en 97 et 98.

Dans le cas du genre supérieur, c’est à dire des cartes plongées sur le tore à g trous, Bender et Canfield ont obtenu en 91 un analogue des formules de Tutte sous la forme d’un schéma de rationalité, valable pour tout g. En 93, Bender, Canfield et Richmond ont ensuite raffiné ce schéma pour pouvoir énumérer les cartes simultanément selon leur nombre de faces et leur nombre d’arêtes. Dans cet exposé, je donnerai la première preuve bijective et combinatoire de ce schéma de rationalité.

Travail en collaboration avec Mathias Lepoutre.

Ariane Carrance (Université Paris-Sud) (mercredi 9h45-10h30)

Énumérer des cartes bicolorées à bord alternant
JCB2021-Carrance.pdf

Les cartes bicolorées peuvent être vues comme un cas particulier du modèle d'Ising. Ainsi, dans le cas d'une condition au bord monochromatique par exemple, très habituelle pour le modèle d'Ising, leur énumération est bien connue. Cependant, elles apparaissent aussi dans certains modèles naturels de cartes aléatoires avec des conditions au bord plus exotiques, telles qu’un bord dit alternant. Dans cet exposé, après avoir brièvement expliqué ces motivations venues des cartes aléatoires, je présenterai les résultats et les principaux arguments d’un travail effectué en collaboration avec Jérémie Bouttier, où nous utilisons des outils de combinatoire analytique pour énumérer les cartes bicolorées à bord alternant, en nous concentrant particulièrement sur les m-angulations et les m-constellations.

Cyril Gavoille (Université de Bordeaux) (jeudi 9h00-9h45)

Graphes universels
JCB2021-Gavoille.pdf Δ

Le nombre de graphes planaires à n sommets (non-isomorphes, non étiquetés) est de l'ordre de c^n, avec c=O(1). Quel est le plus petit graphe qui les contient tous comme sous-graphes induits ? Nous montrons ici qu’il suffit de n^(1+o(1)) sommets. Ce résultat, de toute évidence optimal asymptotiquement, repose sur des avancées majeures en théorie structurelle des graphes, dont nous discuterons également.

Helen Jenne (Universités de Tours et d'Orléans) (mercredi 11h15-12h00)

The combinatorial Pandharipande-Thomas/Donaldson-Thomas correspondence
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In this talk I will discuss joint work with Ben Young and Gautam Webb which resolves an open conjecture from enumerative geometry. The conjecture states that two generating functions for plane partition-like objects (the “box-counting” formulae for the Calabi-Yau topological vertices in Donaldson-Thomas theory and Pandharipande-Thomas theory) are equal up to a factor of MacMahon’s generating function for plane partitions. Our proof is combinatorial: it uses the dimer model, the tripartite double-dimer model of Kenyon and Wilson, and the fact that both satisfy a recurrence related to the Desnanot-Jacobi identity from linear algebra. No prior knowledge of enumerative geometry (or the dimer or double-dimer models) is required to understand the talk.

Florent Koechlin (Université Gustave Eiffel) (lundi 11h15-12h00)

Automates de Parikh non ambigus et leur lien avec les séries holonomes
JCB2021-Koechlin.pdf
un exposé sur le même sujet en anglais

Nous nous intéressons au lien entre langages formels et les propriétés de leurs séries génératrices, et tout particulièrement les séries holonomes. La série génératrice d’un langage rationnel est classiquement rationnelle, et celle d’un langage hors-contexte non ambigu est algébrique. Le lien entre classes d’automates et propriétés des séries génératrice est riche : par exemple, dans les années 80, Flajolet l’a utilisé pour démontrer l’intrinsèque ambiguïté de nombreux langages hors-contexte, à l’aide de critères issus de l’analyse complexe. Nous établissons un lien entre les automates de Parikh non ambigus et les séries holonomes, qui permet de fournir des caractérisations analytiques de l’intrinsèque ambiguïté des automates de Parikh. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Alin Bostan, Arnaud Carayol, et Cyril Nicaud.

Mélodie Lapointe (Université de Paris) (mardi 9h00-9h45)

Frobenius conjecture: Christoffel and Sturmian words
JCB2021-Lapointe.pdf

A Markoff triples is a solution of the diophantine equation x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz. A Markoff number is an element of a Markoff triples. There is a function f which is a surjection between Christoffel words and Markoff numbers. The Frobenius conjecture state that f is injective. The function f is well-defined on the set of binary words, but not injective on this set. We propose the following generalization of the Frobenius conjecture: The function f from the finite sturmian words to natural number is injective. Moreover, we show that the new conjecture holds if f is restricted to the language of a Christoffel word or the language of a Sturmian words.

Victor Lutfalla (Université Paris Nord) (mardi 9h45-10h30)

Plans discrets et substitutions
JCB2021-Luftalla.pdf

In this talk I will introduce discrete planes and substitution tilings using the example of the Penrose Rhombus tiling. I call discrete plane a rhombus tiling which approximates a 2D-plane when lifted to a discrete surface of R^n by mapping each edge direction of the tiling to a vector of the canonical basis of R^n. The approximated 2D-plane is called slope of the tiling.

Substitutions are applications that map each tile of the tile set to a patch of tiles, substitutions are extended to applications on tilings by applying separately on the tiles and gluing the resulting metatiles. The main goal of this talk is to present the fact that the Penrose rhombus tiling can be described as a substitution discrete plane with slopes exp(2ipik/5), k=0,1,2,3,4.

I will conclude with the follwoing problem and related results: can we characterize the 2D-planes of R^n that are the slopes of substitution discrete planes.

Mickaël Matusinski (Université de Bordeaux) (mardi 11h15-12h00)

Les nombres surréels avec exponentielle et omega-exponentiation
JCB2021-Matusinski.pdf

Les nombres surréels ont été définis par Conway dans le cours de ses travaux sur la théorie des jeux : ils permettent d'évaluer les jeux combinatoires partisans, quelle que soit leur taille ! Mais leur universalité ainsi que la richesse de leur structure algébrique et même analytique en a fait des objets de choix aussi en logique (théorie des modèles) et en géométrie (analytique réelle).

Dans cet exposé, j'introduirai ces objets fascinants, en partant des définitions fondamentales, sous ces différents points de vue. En particulier, je m'intéresserai à l'existence de deux types d'exponentiation : exp qui prolonge l'exponentielle usuelle sur les réels, et omega qui prolonge l'exponentiation ordinale de base omega. Si le temps le permet, cela me permettra d'introduire nos travaux récents avec Alessandro Berarducci, Salma Kuhlmann et Vincenzo Mantova à ce sujet.

Sophie Morier-Genoud (Université Pierre et Marie Curie) (lundi 9h45-10h30)

q-déformations de matrices et de l’action du groupe modulaire
JCB2021-MorierGenoud.pdf

Dans un travail récent, en collaboration avec Ludivine Leclere, nous étudions des q-déformations de matrices de SL(2,Z) en matrices dont les entrées s’expriment comme des polynômes de Laurent en q. Les polynômes obtenus ont des propriétés combinatoires remarquables que l’on présentera dans l’exposé. Modulo une puissance de q, les q-matrices engendrent un groupe isomorphe au groupe modulaire PSL(2,Z). Elles permettent de q-déformer l’action par transformation de Möbius et de réinterpréter et compléter la théorie des q-nombres introduits plus tôt dans une collaboration avec V.Ovsienko.

Anna Vanden Wyngaerd (Université Libre de Bruxelles) (lundi 9h00-9h45)

Two Delta conjecture implications

The famous shuffle theorem is a combinatorial formula for a Schur positive symmetric function, nabla(e_n). Since its formulation, a number of variations and generalisations of the shuffle formula have been proposed, many of which remain open problems today. In this talk we present some of these conjectures and discuss two logical implications between them we recently established (joined work with Alessandro Iraci). The relevant combinatorial objects are decorated labelled lattice paths.